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Méthode Bootstrap pour le provisionnement

 

En assurance non vie, la provision pour sinistre à payer (PSAP) est la valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés, y compris les capitaux constitutifs des rentes non encore mises à la charge de l’entreprise. Dans la suite nous mettrons en œuvre la méthode Bootstrap pour provisionnement.

Généralement, la PSAP est déterminée par deux grandes familles de méthodes dites déterministes et stochastiques. Nous nous intéresserons dans cet article à une méthode stochastique qui est la méthode Bootstrap pour provisionnement qui est une méthode qui substitue à des calculs complexes l’usage des simulations Monte Carlo à partir d’un échantillon originel. Le but du Bootstrap est d’approcher la distribution d’un estimateur lorsque l’on ne connaît pas la loi de l’échantillon ou, plus souvent lorsque l’on ne peut pas la supposée gaussienne.

Principe général

Tout d’abord présentons le principe général ou en d’autres termes les fondamentaux de la méthode.

On considère

    \[X_{1},...,X_{n}\]

un échantillon de variable aléatoire réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d), et

    \[\theta\]

le paramètre d’intérêt.

On cherche maintenant à estimer notre paramètre d’intérêt alors :

    \[{\hat{\theta}} = f(X_{1},...,X_{n}).\]

Ensuite, on construit un échantillon Bootstrap de la manière suivante :

On réalise de prime abord, un tirage avec remise de M éléments à partir de l’échantillon initial avec \frac{1}{M} comme probabilité de réalisation.

Ensuite, on note (X_{1}^\ast,...,X_{n}^\ast) le nouvel échantillon et {\hat{\theta}}^{*} = f(X_{1}^\ast,...,X_{n}^\ast).

On répète alors le procédé un grand nombre de fois B, ainsi :

    \[(X_{1}^\ast,...,X_{n}^\ast) = X^k\]

et pour k ∈ [1,B] on aura : 

    \[\theta^\ast_{k} = f(X^k).\]

On obtient alors une distribution empirique du paramètre d’intérêt.

Le Bootstrap décrit est dit “non-paramétrique”.

Principe appliqué

Dans la suite, nous verrons dans un premier temps, le total des provisions avec la méthode Chain ladder, ensuite nous aborderons toutes les étapes de la méthode Bootstrap, le tout appliqué à un triangle de liquidation  net de recours d’une branche IARD pour des sinistres automobiles.

METHODE DETERMINISTE: METHODE CHAIN LADDER

 

Considérons le triangle de liquidation net de recours (règlement des sinistres) suivant :Image d'un triangle de liquidation net de recours pour la méthode bootstrap de provisionnement

Nous présentons les résultats de la méthode Chain ladder dans cette partie de l’article. Pour une meilleure compréhension sur le principe de la méthode Chain Ladder, vous êtes priés de vous référer à cet article : Le provisionnement : la méthode Chain Ladder | ALLIAGE (alliage-ad.com).

CADENCES DE REGLEMENT ET TRIANGLE CUMULE COMPLETE

    Nous calculons d’abord des cadences de règlements et par la suite le triangle cumulé complété.

    Méthode chain ladder avant méthode bootstrap pour provisionnement

     

    CALCUL DE PROVISIONS

    A la suite nous estimons  les provisions par le calcul suivant : Provision = Charge à l’ultime – Montant payé, et les sommant on obtient la provision totale.

      Provision obtenu par la méthode chain ladder

      TRIANGLE DECUMULE COMPLETE

      Nous déterminons à présent le triangle décumulé construit à partir du triangle cumulé complété suivant : la première colonne reste identique à la colonne 1 du triangle cumulé complété, et pour j > 1, on a :

          \[d_{i,j}=D_{i,j}-D_{i,j-1},\]

      avec D_{i,j} éléments du triangle cumulé complété.

      METHODE STOCHASTIQUE : TECHNIQUE BOOTSTRAP

      Mise en œuvre de la méthode Bootstrap pour provisionnement.

      TRIANGLE CUMULE PREDIT

      On va dans un premier temps construire les triangles de prédiction. Le principe est de garder la diagonale de notre triangle et de faire une projection vers la gauche grâce à la formule  :

          \[{\hat{M}}_{i,j}=D_{i,j}\]

      pour i + j = n+1 (dans notre cas n = 12) ;

          \[{\hat{M}}_{i,j}=\frac{{\hat{M}}_{i,j+1}}{f_j},\ pour\ i+j\ <\ n+1,\]

      avec f_j les cadences de paiement calculées dans la méthode Chain-ladder.

      Exemple :

      Ligne 1 et colonne 11 :

          \[{\hat{M}}_{1,11}=\frac{{\hat{M}}_{1,11+1}}{f_{11}} =\frac{276102918}{1{,}000034126}\ =276\ 093\ 496.\]

      Ligne 3 et colonne 3 :

          \[{\hat{M}}_{3,3}=\frac{{\hat{M}}_{3,3+1}}{f_3} = \frac{323\ 943\ 137}{1{,}022297459}\ =316\ 877\ 572.\]

      A la suite de ce qui précède on calcule, triangle décumulé prédit.

      TRIANGLE DECUMULE PREDIT

      Nous construisons maintenant le triangle décumulé prédit par la formule :

          \[{\hat{u}}_{i_,j}={\hat{M}}_{i_,j+1}-{\hat{M}}_{i_,j}.\]

      Ensuite, on construit le triangle de résidus aléatoires.

      TRIANGLE DE RESIDUS ALEATOIRES

      De ce qui précède, on obtient le triangle des résidus par la formule :

          \[r_{i_,j}=\frac{d_{i,j}-{\hat{u}}_{i,j}}{\sqrt{{\hat{u}}_{i,j}}},\]

      avec d_{i,j} triangle initial décumulé des résidus.

      CONSTRUCTION DE L’ECHANTILLON BOOTSTRAP
      REECHANTILLONNAGE DES REFERENCES DES RESIDUS

      Par la suite, en utilisant la fonction d’Excel =ADRESSE(ALEA.ENTRE.BORNES(min; max);ALEA.ENTRE.BORNES(min; max)) et y entrer le min et le max des numéros de lignes concernées par notre triangle décumulé prédit. (Dans notre cas nous avons rééchantillonné, par exemple pour la première ligne en générant aléatoirement toute les colonnes mais seulement pour la ligne 93 qui est l’index de la première ligne de notre tableau de résidu de sorte que les valeurs de la matrice inférieure ne soient sélectionnées).

      Rééchantillonnages des références

      TRIANGLE DES RESIDUS REECHANTILONNES

      A la suite de la précédente étape, en se servant du résultat, on construit alors notre nouveau triangle de résidus qu’on notera

          \[r_{i,j}^\ast\]

      à partir de la fonction INDIRECT() qui nous permettra d’obtenir les valeurs d’une cellule lorsque les références de celle-ci sont contenues dans une autre cellule. Ainsi notre matrice devient dynamique et changera quand la référence changera.

      matrices résidus rééchantillonés

      NOUVEAU TRIANGLE DECUMULE PREDIT

      Ensuite dans cette partie, on recalcule le triangle décumulé prédit à l’aide du triangle des résidus rééchantillonnés en appliquant la formule :

          \[{\hat{d}}_{i,j}=\left(r_{i,j}^\ast\sqrt{{\hat{u}}_{i,j}}\right)+{\hat{u}}_{i,j}.\]

      Triangle décumulé prédit

      APPLICATION DU PRINCIPE CHAIN LADDER

      On construit maintenant, un triangle cumulé complété avec la méthode Chain-Ladder : on remarque que la colonne 1 reste identique à celle du triangle décumulé et  que les autres cellules du triangle supérieur s’obtiennent en appliquant:

          \[{\hat{D}}_{i,j}={\hat{d}}_{i_,j}+{\hat{d}}_{i_,j-1}.\]

      Ensuite, on calcule les cadences de règlement et on complète le triangle par la méthode chain-ladder.

      Triangle cumulé prédit

       

      Par ailleurs, il peut arriver que les cadences soient inférieur à 1 mais proche soit 0,9… de ce fait nous allons utiliser la fonction SI() de sorte à les fixer à 1 si la valeur de la cadence lui est inférieur:

      fixer la cadence

      Nous fixons ces valeurs à 1 par principe de prudence, nous ne voulons pas prédire une baisse de la charge totale de sinistres.

      Enfin, on calcule les provisions issus de l’aléa identiquement à la méthode décrite dans la méthode déterministe :

      Provision bootstrap

      SIMULATION

      Il faut noter que la méthode Bootstrap permet d’effectuer un certain nombre de simulation afin d’étudier la volatilité autour de la moyenne des provisions simulées.

      On introduit donc une macro qui nous permet d’effectuer 1.000 simulations puis de recueillir les provisions simulées pour des études statistiques.

      macro bootstrap

      STATISTIQUES

      Nous avons obtenu les indicateurs statistiques suivants :

      Moyenne = 921 833 823

      Variance = 14 475 304 635 497 300

      Ecart-type = 120 313 360

      GRAPHIQUES

      Enfin, nous vous présentons sur le graphique ci-dessous l’évolution des provisions simulées.

      histogramme

      En conclusion, la méthode stochastique Bootstrap est une méthode non paramétrique permettant d’obtenir par simulation une distribution de la provision. Ainsi, en plus de fournir une estimation moyenne, cette méthode permet d’apprécier la volatilité des provisions.

      Avec la participation de Mulah Moriah.

       

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      ParGilles Aurel KPADENOU