Actuariat

Les modèles individuel et collectif

Les modèles individuel et collectif en réassurance non proportionnelle : comprendre les principes.

En réassurance non proportionnelle, la tarification d’une tranche se base fondamentalement sur l’estimation du nombre de sinistres qu’on nomme fréquence et l’estimation du coût d’un sinistre qu’on nomme sévérité. La combinaison de ces deux éléments permet d’estimer la charge globale S du portefeuille qui est la somme des coûts de sinistres en fonction du nombre de sinistres sur la période considérée. Pour modéliser ladite charge, l’actuaire dispose de deux méthodes : les modèles individuel et collectif.

 

Le modèle individuel

Dans ce modèle le raisonnement de l’actuaire est de faire une modélisation directe de la sinistralité agrégée sur le portefeuille. Cela revient à raisonner police par police.

Soit n le nombre de police du portefeuilles et X_i le montant total de sinistres ayant touchés la i^{ème} police. Toutefois, notons que la valeur de X_i peut être nulle si durant la période d’observation, aucun sinistre n’a impacté la police i. Ainsi on a :

    \[ S = \sum^n_{i=1} X_i \]

Avec ce modèle les variables X_1, \dots, X_n sont considérées comme mutuellement indépendantes. Sous cette hypothèse on pose :

    \[ F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n) = F_{X_1}(x_1)\times \dots \times F_{X_n}(x_n) \]

Toutefois la détermination de la distribution de la charge globale S reste difficile dans ce contexte ainsi les X_i ne peuvent pas être supposées identiquement distribuées. En considérant la sinistralité totale du portefeuille uniquement, l’actuaire risque d’omettre deux problématiques pertinentes à savoir la problématique de fréquence et la problématique de sévérité.

Le modèle collectif
Dans le cadre de la réassurance non proportionnelle l’application des clauses de traités, passe par une connaissance minutieuse de la distribution des sinistres individuels. Cependant l’actuaire ne modélise que les sinistres supposés graves et qui généralement peuvent être dénombrés, ainsi l’actuaire peut observer une variation plus ou moins du nombre de sinistres exercice après exercice. Ce qui permet de mettre en lumière un risque lié à cette variation de nombres qui pourrait affecter la charge totale du portefeuille. Cette problématique induit alors une modélisation de la distribution des nombres de sinistres.

Le principe de cette méthode est d’obtenir un modèle qui fournit une meilleure approximation et une facilité de manipulation que le modèle individuel. Dans le modèle collectif la charge totale du portefeuille S s’exprime comme la somme sur le nombre de sinistres N des montants X_i de chaque sinistre. Formellement, ce modèle se définit comme suit :

    \[ S = \sum^N_{i=1}X_i \]

Où :
– X_i est la variable aléatoire réelle relative au montant de sinistre individuel du portefeuille, elles sont indépendantes et identiquement distribuées de même loi qu’une variable aléatoire X;
– N est la variable aléatoire à valeur dans \mathbb{N} relative au nombre total annuel de sinistres, indépendante des X_i;

L’objectif est de modéliser les coûts des sinistres appelés sévérités X_i et le nombre total de sinistres appelé fréquence N. On n’en déduira ainsi la modélisation des montants à charge du réassureur S. La prime comme de façon générale se définira comme l’espérance mathématique de la charge totale, soit

    \[ P = \mathbb{E} (S)\]

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Intuitivement l’espérance de la charge totale est équivalente au produit des espérances entre la sévérité et la fréquence des sinistres.

    \[\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(N) \times \mahbb{E}(X)\]

L’écart-type s’exprime donc par la formule suivante :

    \[ \sigma(S) = \sqrt{\sigma^2(X) \mathbb{E}[N]+ \sigma^2(N) (\mathbb{E}[X])^2 } \]

Il est donc crucial pour l’actuaire de comprendre son portefeuille, l’environnement dans lequel celui-ci évolue afin que son choix soit des plus pertinent.

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ParGilles Aurel KPADENOU